Qu'est-ce que inégalité de jensen ?

L'inégalité de Jensen est un concept mathématique important dans la théorie des fonctions convexes. Elle a été découverte par le mathématicien danois Johan Jensen en 1906.

En termes simples, l'inégalité de Jensen énonce que si une fonction est convexe, alors la valeur de la fonction au point moyen des valeurs d'une variable aléatoire est inférieure ou égale à la moyenne de la fonction appliquée aux valeurs aléatoires individuelles. Autrement dit, pour toute fonction convexe f(x) et toute variable aléatoire X, on a :

f(E[X]) ≤ E[f(X)]

où E[X] est la valeur attendue de la variable X, et E[f(X)] est la valeur attendue de la fonction f(X) appliquée à la variable aléatoire X.

Cette inégalité est particulièrement utile en statistique et en théorie des probabilités pour démontrer des inégalités de concentration, des inégalités de martingales, et dans l'analyse des algorithmes. Elle est également utilisée dans divers domaines de la physique, de la chimie et de l'économie.

En résumé, l'inégalité de Jensen est un outil mathématique puissant qui permet de démontrer des propriétés importantes des fonctions convexes et des variables aléatoires.